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 分形理论的发展历程与现状  

2011-4-22 22:13:35 浏览:2074 来源:  

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关键字:分形理论  计算机仿真  耗散结构


  分形几何的概念虽然是Mandelbrot在1975年提出的,但最早的工作可追朔到1875年德国数学家Weierestrass  6  构造的处处连续但处处不可微的函数,以及集合论创始人Cantor构造的有许多奇异性质的二分康托集。1890年,意大利数学家Peano构造了填充空间的曲线,从Ifu导致后来拓扑维数的引入。1904年,通过初等方法构造了如今被称为Koch曲线的处处不可微的连续曲线,并‘讨论了该曲线的性质,由十该曲线的构造极为简单,从  fu改变了人们认为连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法。特别重要的是,该曲线是第一个人为构造的具有局部与整体相似结构的例子,它被称为自相似结构。1915年,波兰数学家Sierpinski  g  设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决与拓朴学中的相关问题Ifu提出的反例,它们正是分形几何思想的源泉,但在当时人们曾普遍认为这些情形是极为例外的,应当在理论研究中排除这类“怪物”。    1910年,德国数学家Hausdor护9]开始了奇异集合性质的研究,提出分数维概念。1928年Bouligand  lo      阂可夫斯基容度应用十非整数维,由此能将螺线作很好的分类。1932年Pontryagin  ll  等引入盒维数。1934年,Besicovitch更深刻地提示了Hausdorff测度的性质和奇异集的分数维,他在Hausdorff测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献,从  fu产生了Hausdorff-Besicovitch Ua]维数概念。在这个阶段,人们已认识到几类典型的分形集,并目‘力图对这类几何与经典几何的差别进行描述、分类和刻画。

  年,Mandelbrot在研究棉价变化的长期性态时,发现了价格在大小尺度间的对称性。同年在研究信号的传输误差时,发现误差传输与无误差传输在时间上可按康托集排列。在对尼罗河水位和英国海岸线的数学分析中,发现了类似的规律。他总结自然界中很多现象从标度变换角度表现出的对称性。他将这类集合称作自相似集,其严格定义可由相似映射给出。他认为,欧氏测度不能刻划这类集合的本质,转向维数的研究,发现维数是尺度变换的不变量,主张用维数来刻划这类集合。1975年,Mandelbrot用法文出版了分形几何的第一部著作《分形形状、机遇和维数》[l3]0 1977年该书再次用英文出版。它集中了1975年以前关十分形几何的主要思想,将分形定义为Hausdorff维数严格大十其拓朴维数的集合,总结了根据自相似性计算实验维数的方法,由十相似维数只对严格自相似这一小类集合有意义,Hausdorff维数虽然广泛,但在很多情形下难以用计算方法求得,因此分形几何的应用受到局限。1982年,Mandelbrot的新著《自然界的分形几何》出版,将分形定义为局部以某种方式与整体相似的集,重新讨论盒维数,它比Hausdorff维数容易计算,但是稠密可列集盒维数与集所在空间的维数相等。为避免这一缺陷,1982年Tricot  l4]引入填充维数,1983年提出根据观测记录的时间数据列直接计算动力系统吸引子维数的算法。1985年,Mandelbrot  l6  提出并研究自然界中广泛存在的自仿射集,它包括自相似集并可通过仿射映射来严格定义。1982年Dekking  l  ]研究递归集,这类分形集由迭代过程和嵌入方法生成,范围更广泛,但维数研究非常困难。随着分形理论的发展和维数计算方法的逐步出现与改进,分形理论逐渐在很多领域得到应用并越来越广泛。

  自然界中的分形,与概率统计、随机过程关系密切。将确定性的古典分形集加入随机性,就会产生出随机康托集、随机科契曲线等各种随机分形。1968年,研究布朗运动这一随机过程时,将其推广到与分形有关的分数布朗运动。1974年他又提出了分形渗流模型[l9]。1984年,Zahle  2o  通过随机删除Ifu得到十分有趣的分形构造,随机分形能更真实地描述和模拟自然现象。动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。    动力系统的奇异吸引子通常都是分形集,它们产生十非线性函数的迭代和非线性微分方程中。1963年,气象学家Lorenz  21]在研究流体的对流运动时,发现了以他的名字命名的第一个奇异吸引子,并发现在二阶非线性自治系统中可能会出现混沌解。这是在耗散系统中,一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例。

  年,Stewart  22  首次从数学上严格证明了Lorenz吸引子在自然界中的存在。

  年,法国天文学家 Henon  2    考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。

  它具有某种自相似性和分形性质。1985年,Grebogi  24  等构造了一个二维迭代函数系统,其吸附界是维尔斯特拉斯函数,并得到盒维数。动力系统中另一类分形集来源十复平面上解析映射的迭代。早在本世纪初,Julia不I I Fatou  2s-a6]十年间首先进入复动力系统研究领域。他们发现,解析映射的迭代把复平面划分成两部分,一部分为 Fatou集,另一部分为Julia集。他们甚至设法画出了这些映射产生的图形草图,但是由十采用纯数学方法以及受当时计算工具的限制,他们不可能清楚地看到这些混沌集合,所以使这方面的研究受到极大限制。随后50年间,这方面的研究没有得到什么进展,直到计算机的快速发展,这一研究课题才又获得生机。

  在70年代中期,一些数学家如美国的J.Milnor曾研究过单实变数二阶多项式的迭代。但后来证实只有放在复数的框架中才有更多的结果。事实上,一个复数z被写成x+iy的形式,其中x和Y是实数,就能把它和平面上的一点等同起来,以便从几何的角度考虑问题。此外还可以借助复分析的丰富宝库,让其中强有力的定理发挥作用。在实数范围内无解的种种问题当置十复数框架以后,很快就能找到答案。70年代,Mandelbrot应用计算机数值计算的技巧,用二阶复映射模型z  z2 +c作研究对象,发现了以他的名字命名的Mandelbrot集合(简称M集)。M集合具有图中嵌图形中镶形的自相似结构特点,这个M集“被认为是至今所看到的最为复杂的科学研究对象之一”。通过z  z2 +c这么一个简单的数学映射就产生了如此复杂的混沌分形现象,引起了世界科学界的震惊,使沉寂了多年的“复动力系统研究”重新受到了重视。研究人员将z  z2+c推广到及Z  Z-a+C,使Mandelbrot用以产生M集的复映射得到了更大程度的推广。复平面上使T    )成为连通集的点c组成Mandelbrot集,M集的性质过去是并目‘将来继续是数学研究的一个巨大难题。Douady   十1982年证明集是连通和单连通的,人们猜测M集是局部连通的,目前每一张计算机l冬l形都证实了这一猜测,但至今还没有人能给予证明oM是否为弧连通,目前尚不清楚。

  集边界的维数也是值得研究的问题之一。

  年,Hutchinson  2g]使用压缩映射族即IF S来构造不I I研究分形集,但迭代函数系统的完整理论是由Barnsley  29]等人十1985年建立的。Julia集不I I其它很多分形集都是某些迭代函数的吸引集,用其它方法产生的分形集也可用迭代函数系逼近。由十普通IF S吸引子形状比较规则,K. Culik为在吸引子的形状上取得有序不I I混沌的平衡Ifu引入MRFS(Mutually Recursive Function Systems),通过抓‘制迭代函数序列以控制吸引子形状一般动力系统中的分形集,其豪斯道夫维数dH难以通过理论方法或计算方法求得。对十有迭式构造的分形集,T.Bedford}}l]等在1986年已给出卓有成效的算法,但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集,这些结果都也难以应用。

  和J.A.York}}2]十1979年引入李雅普洛夫维数dL并猜测年勒拉皮尔证明了多重分形(multifractals)是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集,其概念首先由Mandelbrot不II A.Renyi引入。J.D.Farmer}}}]等在1983年定义了多重分形广义维数。1988年,A. Arneodo}}`}}等人将小波变换用十多重分形研究。

  年,C.Beck}}5]得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性度量。

  年Z.Kovacs}}}]等引入双变量迭代系统,最大特征值和吉布斯势导出维数、嫡、李雅普洛夫指数,提供了对多重分形相变分类的一般方案。对十多重分形目前虽已提出不少处理方法,但从数学的观点看,还不够严格,部分问题的数学处理难度也较大。

  分形理论发展起来才二十余年,目‘方兴未艾,国内外出版了大量关十分形的图书文献}s}-}+}}。值得注意的是,近年来分形理论应用的发展远远超过了理论的发展,并目‘对分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善,使理论简便,可操作性强,是分形的研究者们普遍关注的问题。Ifu在理论研究上,维数的理论计算、估计、分形重构(即求某一动力系统的吸引集为给定分形集)、J集和M集及其推广形式的性质、动力学特征及维数等研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。

  分形理论的发展经历了二个阶段第一阶段为1875年至1925年。在这一阶段,人们已认识到几类典型的分形集,并目‘力图对这一部分分形集和经典几何的差别进行描述、分类和刻画。十九世纪,尽管人们已经能区分连续与可微曲线之间的区别,但是业界公认为绝大多数情况下连续Ifu不可微的情况是极少的,在进行理论研究时应排除这种”异端”,‘特别认为一条连续曲线上不可微的点应当是极少的。1872年,Weierstrass证明了一种连续函数在任意一点均不具有有限或无限导数,当时在学术界引起了极大的轰动,人们从不同方面推广了此函数,并对其奇异性作了深入的研究。

  在1904年通过初等方法构造了如今被称为Von Koch曲线的处处不可微的曲线,并讨论了该曲线的性质。由十该曲线的构造极为简单,从}fu改变了人们认为连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法。该曲线是人们第一个发现的人为构造的局部与整体相似结构的例子。Von Koch曲线是按如下方法得到的平面曲线:设EO是平面F上的单位线段,将EO二等分,以中间的1/3线段拱出一个正二角形的两边,得到一个由4个长度为1 /3的边所组成的折线,称此折线为E1。并称E1是由EO繁衍生成的,对E1的每一条边都进行上述规则的变化,就可得到一个由42个长度为1/32的边组成的折线,记其为E2。如此逐次发展下去,便得到一个折线序列EO,E1,E2,...,En,的极限曲线即为Von Koch曲线,如下图1.1所示。    Peano在1890年提出了填充平面的分形图,如图1.2所示。这一分形图的提出,引起了强烈的轰动,以致人们不得不重新考虑以往长度和面积的概念。从引出了分形图维数的概念。    在二十世纪初,出现了一类极为典型的随机分形集一Brown运动,在那时分形理论已经得到了物理学家的高度重视,人们对Brown运动的轨迹进行了深入的分析研究,由十它的出现Ifu产生了两个方面的影响:一方面认为自然界的几何现象是混乱的,不能用通常的欧氏几何形式来表现,另一个方面,是它让人们认识到数学学科的极其复杂性。总之,在分形理论的第一阶段,就使人们己经认识到了分形问题的存在,并做了初步的探讨。

  第二阶段大致为1926到1975年,在这期间,人们用数学方法对分形集进行了更加深入的研究,形成了分形的理论基础,Besicovitch和其它学者的研究工作形成了第二个阶段的成果,主要集中在对分形集的维数、局部性质、分形集结构等进行了定义和深入研究,但尽管取得了很多理论成果,它们的绝大部分局限十纯数学上的理论研究,没有与其它学科发生联系,也就没有应用十实际的工程中。

  第二阶段是1975年以后,在这一阶段,分形几何在虚拟现实、仿真、科学研究等多个领域得到了全面发展,并形成了独立学科分支。Mandelbrot将前人的研究结果进行了总结,十1975年出版了划时代的著作《分形:形状、机遇和维数》。

  第一次系统Ifu全面地阐述了分形几何的思想、内容、意义和方法。从此,分形几何学作为一个独立的学科分支正式诞生。

  曾建议将分形定义为整体与局部在某种意义下的相似性的集合,或者是具有某种意义下的自相似集合;他也给出过一个尝试性的定量刻画[f}}l:分形是一个其Hausdorff维数严格大十其拓扑维数的集合。这些定义都不够精确、不够全面,不能包括很大一部分的分形集。1990年英国的K.Falconer}`}g均守生物中对“生命”定义的方法引入到对分形的定义。他认为虽然难十对分形下一个确切的定义,但可以通过分形集的一些特征来说明,如同“生命”并无精确的定义一样,但“生命”这个概念是通过生命体的一系列特征来表征的。他将分形看作具有下列性质的集合具有精细的结构,具有任意小的比例细节具有不规则性,它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述一般具有近似的或统计意义的部分与整体之间的自相似性通常以某种方式定义的“分形维数”大十它的拓扑维数可以通过令人感兴趣的递归、迭代等简单的方法生成。

  分形几何学的核心思想是物体形状整体和局部的自相似性,这个概念与自然界中大量不规则事物的形状特征相吻合,因此分形学适合十描述自然界中的不规则物体。借助十分形算法通过计算机从少量的数据生成复杂的自然景物图形,使我们在景物仿真模拟方面前进了一大步。植物形态作为自然界中最常见的景观之一,其复杂性也适合用分形理论进行模拟。分形理论和技术提出后,在世界上引起了广泛重视,在数学、物理、化学、生物、经济学、计算机科学、艺术等领域广泛地展开了对它及其应用的研究,逐渐发展和完善成为一个理论体系。

  分形既可以是几何图形,也可以是由“功能”或“信息”等构成的数理模型。

  它可以同时具有形态、功能和信息二方面的自相似性,也可以只有其中某一方面的自相似性。与数学上的分形相比,自然界中实际存在的分形具有两个明显的特征自然界中的分形仅在一定范围,一定层次中才表现出分形特征,这个具有分形特征的范围叫“无标度区”。在无标度区外,自相似性不复存在,系统也就没有分形规律了。此外,同一自然现象可能出现多个无标度区,在不同的无标度区内可能出现不同的分形特征。

  数学中的分形具有无限嵌套的层次结构,ifu自然界中的分形具有有限层次的嵌套,目_是具有自相似分布特征的随机现象,不像数学上的分形那样单纯、均匀和一致,必须从统计的角度考虑、分析和处理。实际上,现实世界没有真正的分形,正如Mandelbrot所强调的那样,自然界的分形跟我们在数学中讨论的分形是有区别的。

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