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 分形理的墨竹画的研究基础  

2011/4/22 22:09:41 浏览:2592 来源:  

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关键字:分形理论   数学抽象  耗散结构


  分形理论是人们在自然界和社会的实践活动中所遇到的不完全规则事物的一种数学抽象。分形理论自从20世纪70年代被提出以来,经过几十年的发展,已经成为一门重要的新学科,被广泛应用十数学、计算机科学、力学、物理学、化学、生物学、地质学、社会学、人文学以及艺术学等各个领域,成为当今国际上许多学科的前沿研究课题之一。分形理论是研究和处理自然与工程项目中不完全规则图形的强有力的理论工具,分形理论正起着把现代科学各个领域连接起来的作用,人们把它与耗散结构及混沌理论共称为20世纪70年代中期科学上的二大重要发现。随着电子计算机的迅速发展和广泛应用,分形的思想和方法正在不断的应用发展,口益影响着现代社会的生产和生活活动。随着分形理论的广泛应用,一些新的数学方法和数学工具被不断提出,显示了分形理论的强大生命力。

  分形理论及其国内外研究现状分形理论的基本概念分形(fractal)一词源十拉丁文fractus,本意是指“破碎的”、“产生不规则碎片”、“分数,,等,是美籍法国数学家B.B.Mandelbrot十1975年最先创用的用这个词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂不规则的几何对象。如:弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山脉、粗糙不堪的断面、变幻无常的浮云、纵横交错的血管、令人眼花缭乱的满天繁星等。它们的特点是看似极不规则或极不光滑的,直观Ifu粗略地说,这些对象被称为分形。分形目前还没有严格的数学定义,只能给出描述性的定义。粗略的说,分形是没有明确特征标度但具有某种意义自相似的l冬l形和结构的景物总称。

  大自然本身描绘的曲线,如海岸线、布朗粒子运动轨迹等都有两个共同的特点。首先,它们不像数学家设计的曲线那样纯粹。它们的自相似性是通过大量的统计Ifu抽象出来的。其次,它们的自相似性只存在十“无标度区间”,一旦逾越这个区间,自相似性就不复存在,就更谈不上分形了。通常人们把这类曲线称为无规则分形曲线。所谓无标度性是指无论测量单位如何改变,所研究的客体的性质均不发生变化,Ifu“无标度区间”可以说是客体具有的自相似性区间[2]。因此,自然界的无规则分形是具有上下端限制的,或者说是不完全规则的事物。

  引入统计自相似性概念作为自然界景物的更一般和更逼真的模型。在一个“统计自相似性”的景物中,组成景物的各部分具有和整体相似的一般结构,只是根据某个比例缩小或某个局部改变的复制品。    从模拟的观点看,统计自相似性意味着分形的分形兀在每个递归层次上在随机变化。这些变化必须足够小,以保证分形兀大致相同。这就提供了模拟复杂对象的一种方法。如大自然中的多数植物种类都具有分支结构,如果任意一个分支都与植物整个植株统计特征自相似的话,那么这种植物的结构就可以认为是分形结构。当然,这类分形结构仅是统计自相似意义上的分形结构,}fU不是严格自我复制的分形结构。

  到目前为止,分形理论已成功的应用到自然科学、社会科学等诸多领域,并在工程领域中得到了广泛的应用,分形理论已经成为研究许多自然现象的有力工具。在自然现象中,有许多对事物都不能用经典欧氏几何描述,在这种情况下,分形几何就可以用来处理这不完全规则的几何形状。分形一词的含义是不规则和碎片的意思[m。分形理论的创始人美籍法国数学家Mandelbrot十1967年在美国《科学》杂志上发表了“英国的海岸线有多长”的著名论文。首次提出了分形的思想。

  年,他提出了分形几何的概念,并b_创用了fractal一词,同年他出版了专著《分形:形状、机遇和维数》,这本书的问世标志着分形理论的诞生。分形至今还没有统一的定义。英国数学家K.Falconer在其所著《分形几何的数学基础及应用》

  中认为,分形不存在准确的定义,但可以列出其基本特性①分形具有精细的结构,即在任意小的尺度下,它总有复杂的细节②分形是不规整的,整体与局部都不可能用传统的几何语言来描述③分形通常有自相似形式,但这种自相似是近似的或统计意义的(这也说明分形具有不“完全”规则性④一般的,分形的某种定义下的分形维数大十它的拓扑维数⑤在大多数情形下,分形可以非常简单的方法确定,并可由迭代过程产生

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