关键词：可逆性、不确定性和等待价值
　　绝大多数投资都不同程度地存在不可逆性、收益不确定性和等待价值三个特征。不可逆性意味着投资必定产生沉没成本，收益不确定性使投资者只能估计预期收益，而等待价值导致投资事实上成为买入一种永久性或到期日为无限期界的美式看涨期权。现有文献对上述三个特征作了深入研究。有些学者重点考察某个特征3，另一些学者则试图在一个统一的分析框架内探讨各种特征之间的相互关系“。基于Dixit和的工作，以下部分我们将对引入不确定性之后的厂商投资决策行为进行简要论述。

　　当存在不可逆性、不确定性和等待价值时，厂商的投资决策变得相对复杂，即不仅要决定是否投资，还要决定何时投资为最优。这一随机动态规划的实质是一个伊藤过程（（ Ito Process）的最优停止问题。，换句话说，厂商在每个时期都有两种选择：投资和不投资，投资等价于”停止“，不投资等价于”继续等待“，因为等待可能产生新的价值。关于该类随机动态规划，Dixit和Pindyck （1994）利用”伊藤引理“、”价值匹配“（ value-matching）条件和”平滑封闭“条件，推导出了解析解。假定存在不可逆性、不确定性和等待价值时，代表性厂商时刻t的最优投资问题可表述为如下随机动态规划，一其中，P（R）为等待价值或投资的机会成本，1为已知的项目投资成本，为投资项目的价值，其服从如式（（ 3.8 ）所示的带漂移的几何布朗运动或伊藤过程（Ito Process ） 5 }  dZ一s,福（s, ^}iid. N（0,1）是维纳过程{Z（t），t >_ 0}的增量”，：和二分别为漂移和方差或扩散参数。E代表预期，T为作出投资的（未知的）未来时间，P}:为贴现率‘C.根据贝尔曼原理，上述随机动态规划的贝尔曼方程的一般形式可表述为，，）=max{}（x,t），二（x,，）+（1+pdt）一，E[F（x+dx,，+dt）} x]}（3.9）其中F（x, t）为值函数，x为状态变量，}（x,t）为选择“停止”（或投资时所能获取的回报，二（（x,u,t）为选择“继续”（等待或不投资）时所能获取的即期现金流或利润流。显然，式（（3.9）的右边存在两种情形，，）<二（x,，）+（1+p dt）一'E[F（x+dx,t+dt）}x]和}（x,，）>二（x,'

　　一'E[F（x+dx, t+dt）}二]]o我们重点考察前一种情形，因为后一种情形是极为简单的。当前一种情形成立时，将式（（ 3.9）进行简单的代数变换，即有，二其中dF = F（x+dx,t+dt）-F（x,小考虑到选择“不投资”时的即期现金流二（x,t） = 0恒成立，以及等待价值的无限期界性，并结合式则式（3.10）将变为，式（（3.11）即为选择“不投资”时的贝尔曼方程。由于R服从伊藤过程，因此可利用如下“伊藤引理”来展开、一，-一P“l Rl，一尤）=Y’（K）dl（+一（dX）‘”'2'

　　其中P’（R）二dP（R）ldR,   P“（R）=dzP（R）ldR‘，即P（R）对R分别求一阶和二阶导数。首先将式（（ 3.8）所决定的dR以及dZ=s,俪代入式可得，厂_，_、_P”（Rl。_。、__._、大少=}r（K）zK十一泛-几J“尤”}dt+尸（尤艺然后再将式（（3.13）决定的dP（R）代入式（（3.11），并注意到以及等式两边同时除以dt，则有如下形式的贝尔曼方程，二，*，Pn（R）、：*尸，（*）一、尸（*）一。

　　利用如下三个边界条件，可求解上述二阶非线性常微分方程，一凡一其中，式（（3.15）来自项目价值为零时，等待价值也为零这一事实；式被称为“价值匹配”条件，即投资项目的临界价值水平凡应当使投资与不投资的价值无差异·换句话说，当项目价值R>凡时，由于凡。一1 > P（凡），厂商必定选择投资而不是等待，反之则选择等待，因此，临界水平时必有式（（3.16）成立。并且，根据式（3.9 ）所示的贝尔曼方程，式（（3.16）的一般形式（有限期界）可表述为，，式（（3.18）意味着未知的等待价值函数F（x, t）的值，与已知的因“停止”

　　所带来的回报函数}（x, t）在x出必须相等。其中x“ = x`（t），表现为投资项目的一条最优价值路径，即x-t平面上存在两个被曲线x` = x`（t）分割的上下区域，如果F（x0, t） - }（x0, t）随x递增，则曲线x* = x’（t）之上的区域为”继续等待“（或不投资）区域，之下者为”停止“（或投资）区域，反之则反。式（（ 3.17）被称为”平滑封闭条件“，也称为”高阶联系“。其直观含义是，在项目价值的临界水平凡，因”停止“所带来的回报函数（R一I）应当与等待价值函数P（R），不仅在数值上相等，而且在斜率上也必须相等。同理，根据式（3.9 ）所示的贝尔曼方程，式（3.17）的一般形式（有限期界）可表述为，凡（x', t）=吸其中下标表示求偏导。这一条件背后的经济学含义是，只有当因”停止“所带来的回报函数~}（x, t）与未知的等待价值函数F（x, t）相切时，等待价值才达到最大化从三个边界条件不难得出前述非线性二阶常微分方程的解为卜}Ra，其中a为，。一1）、。一：一。

　　的正根，即有厂：叮2p、，z十，II一百}+ -z'

　　乙少一一一而r}=（a一1）a_} /（aala_}），以及，—了一式（3.21）是存在不可逆性、不确定性和等待价值时，厂商最优投资决策的关键等式，它能够提供相当多的信息。其中最明显的莫过于，通过直观地否定了投资决策理论中传统的”净值原则“或”马歇尔教义“：凡。二I。换句话说，考虑不确定性、不可逆性和等待价值之后，厂商投资所要求的预期回报比净值要高，甚至有可能高很多，这无疑是对‘新古典投资理论的重大修正。与此同时，结合式（（ 3.2.0）和，可以看出，不确定性（。）和项目价值预期增长率（：）以及贴现率或利率（P）的上升，提高了等待价值，进而抑制了厂商投资。
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